Wyboczenie jest bardzo dobrze znane osobom zajmującym się budownictwem, architekturą czy też wszelkiego rodzaju konstrukcjami, w których można spodziewać się występowania sporych naprężeń ściskających. Takie konstrukcje to np. rurociągi, słupy podtrzymujące dachy, tory kolejowe (tramwajowe), ale również tafle szklane tworzące szkielet np. ścian budynków. Generalnie rzecz ujmując, w przypadku wszystkich konstrukcji, o których można powiedzieć, że są wiotkie, występuje ryzyko nagłej utraty stateczności w sytuacji gdy konstrukcje te są poddane dużym obciążeniom ściskającym. Utrata stateczności objawia się tym, że konstrukcja np. słup hali, ni stąd ni zowąd zaczyna wyginać się na wszystkie strony, chociaż nie działają na niego żadne (lub bardzo niewielkie) siły boczne. Temat wyboczenia powinien być zresztą inżynierom znany. Obliczanie siły krytycznej, korzystanie z wzorów Eulera lub Tetmajera-Jasińskiego, pojęcie smukłości pręta – wszystkie te zagadnienia wchodzą w skład podstawowego kursu mechaniki. I w wielu przypadkach na tym koniec. Tymczasem na skutek powszechnej tendencji do obniżania masy konstrukcji (czyli jej „odchudzania”) inżynierowie coraz częściej znajdują się sytuacji, w której nie uwzględnienie postaci wyboczeniowych w analizie konstrukcji mechanicznych prowadzi do wyników nie mających przełożenia na rzeczywistość. Niniejszy tekst ma na celu przybliżenie sposobu uwzględniania zjawiska wyboczenia w analizach przeprowadzanych przy wykorzystaniu metody elementów skończonych.
Na początek podstawy. Wyboczenie to nagła utrata stateczności konstrukcji na skutek działania sił ściskających. Skąd te siły? W przypadku wspomnianych już słupów podpierających konstrukcję będą to siły wynikające z ciężaru spoczywającego na słupie. Ale nie tylko – w trakcie pożaru metalowy słup będzie poddany działaniu wysokiej temperatury. Metal pod wpływem temperatury będzie chciał zwiększyć swoją długość, co wywoła w nim duże naprężenia ściskające i ostatecznie może prowadzić do jego wyboczenia. Z całą pewnością będzie temu sprzyjać wysoka temperatura zmieniająca jego własności mechaniczne, takie jak moduł Younga itp. To jednak nie jest tematem obecnych rozważań. Skoro już mowa o obciążeniach termicznych to z podobnym zjawiskiem mamy do czynienia w przypadku szyn kolejowych lub rurociągów. Źle skompensowane wydłużenie na skutek wzrostu temperatury może powodować wyboczenie konstrukcji. Ze zjawiskiem wyboczenia muszą sobie poradzić budowniczowie szklanych domów. Architekci projektują już i budują domy których ściany całkowicie wykonane są z tafli szklanych. Szkło w tym przypadku jest nie tylko „wypełnieniem” szkieletu, ale stanowi szkielet konstrukcji domu. Musi więc spełniać takie zadania, jak przenoszenie ciężaru dachu i stanowić opór dla sił natury, w postaci np. wiatru. Ciężar dachu wywołuje ściskanie ściany, a wiatr stanowi siłę boczną powodującą jej dodatkowe zginanie. Tego rodzaju kombinacja obciążenia sprzyja wyboczeniu konstrukcji. Jej wyboczenie zaś może doprowadzić do wystąpienia naprężeń rozciągających bardzo niebezpiecznych dla szkła.
Ale nie tylko architekci i twórcy luksusowych rezydencji są zmuszeni do troski o stateczność swoich konstrukcji. Wspomniałem już o bardzo powszechnej w przemyśle tendencji polegającej optymalizacji wszelkich konstrukcji pod kątem redukcji masy. Prowadzi to do powstawania konstrukcji mechanicznych, o których coraz częściej można powiedzieć, że są wiotkie. Ich wiotkość nie jest wprawdzie wadą, pod warunkiem, że konstrukcje te, w wystarczającym stopniu spełniają założenia konstruktora. Problemem jest raczej to, że konstruktor coraz częściej, oprócz wymagań dotyczących sztywności lub wytrzymałości, musi zdefiniować wymagania związane ze statecznością projektowanej konstrukcji.
Nie zawsze jednak wyboczenie jest zjawiskiem negatywnym. Może ono również działać „w służbie człowieka”. Typowym przykładem jest kształtowanie termiczne blach lub kształtowników metalowych wykorzystujące między innymi mechanizm wyboczenia termicznego konstrukcji. Pomimo tego, niewątpliwie pozytywnego charakteru wyboczenia, przedstawionego na ostatnim przykładzie, można jednak zaryzykować tezę, że w codziennej praktyce zjawisko to nosi cechy negatywne. Należy więc wystrzegać się go, a co najmniej mieć nad nim kontrolę.
Kontrolę zapewni możliwość uwzględnienia utraty stateczności w obliczeniach konstrukcji. Literatura oraz normy branżowe obfitują we wszelkiego rodzaju szablony, schematy oraz wzory przydatne do obliczeń stateczności konstrukcji. Również programy wykorzystujące metodę elementów skończonych pozwalają na uwzględnienie postaci wyboczeniowych i włączenie ich do analizy. W dalszej części na prostym przykładzie pokazany zostanie sposób przeprowadzania analizy statycznej w środowisku Abaqus, z uwzględnieniem postaci wyboczeniowych konstrukcji.
Analiza taka przebiega w dwóch etapach. W pierwszej kolejności przeprowadza się analizę buckle, której wynikiem są postaci wyboczeniowe konstrukcji oraz wartość siły krytycznej odpowiadająca każdej z tych postaci. Następnie przeprowadza się analizę nazywaną w anglojęzycznej literaturze ‘postbuckling’. Na potrzeby niniejszej pracy analiza ta będzie nazywana analizą deformacji konstrukcji. Schemat metody jest zilustrowany na rysunku 1.
Aby sprawdzić, czy algorytm postępowania jest poprawny, wystarczy przeprowadzić porównanie wyników symulacji numerycznej z wynikami obliczeń analitycznych. Porównanie to zostało przeprowadzone na przykładzie stalowego pręta o przekroju prostokątnym 10×30 mm i długości 500 mm (Rys. 2).
Dolny koniec pręta jest zamocowany w podporze przegubowej, a jego górny koniec znajduje się w podporze przegubowej przesuwnej. W środowisku Abaqus zrealizowano to w ten sposób, że dolną płaszczyznę pręta połączono za pomocą więzów typu Kinematic Coupling z punktem nazwanym RefPoint-1, a górną płaszczyznę pręta połączono z punktem RefPoint-2 (Rys. 3). Następnie zdefiniowano warunki brzegowe dla RefPoint-1 u1=u2=u3=u6=0 oraz dla RefPoint2 u1=u2= u6=0 i u3≠0. Do górnego punktu (RefPoint-2) przyłożono jednostkową siłę ściskającą o wartości F=1N działającą wzdłuż osi pręta. (Rys. 4)
Siatkę elementów skończonych dobrano tak, aby na grubości pręta przypadały minimum trzy warstwy elementów. Zastosowano elementy solid C3D8. Przyjęto sprężysty model materiału pręta o wartości modułu Younga E=210 GPa oraz współczynniku Poissona v=0,3. Zgodnie ze schematem przedstawionym na rysunku 1 przeprowadzono analizę wyboczeniową i otrzymano postaci wyboczenia (mody) wraz z wartościami własnymi (eigenvalue). Wyniki analizy – trzy pierwsze mody wraz z wartościami własnymi pokazane są na rysunku 5.
Najbardziej interesująca jest oczywiście pierwsza postać wyboczenia oraz odpowiadająca jej wartość własna. Siła, jaką obciążony został pręt, była jednostkowa, więc wartość własna powinna być w tym przypadku równa sile krytycznej. I rzeczywiście – podstawiając dane do wzoru Eulera na siłę krytyczną otrzyma się wartość Pkryt=20726 N. Porównując ją z siłą krytyczną uzyskaną z obliczeń MES PMES=20768 N otrzymujemy różnicę rzędu 0,2%. Jest to bardzo dobra zbieżność analizy MES z wynikami obliczeń analitycznych.
Analiza numeryczna MES wyboczenia pręta została wykonana i pomyślnie przeszła weryfikację z obliczeniami analitycznymi. Przyszła więc pora na przeprowadzenie analizy statycznej konstrukcji z wykorzystaniem wyników poprzedniej analizy. Ten sam model, który był użyty do przeprowadzenia analizy wyboczeniowej zostanie teraz wykorzystany w analizie postbuckling. Określenie ‘ten sam model’ nie jest przypadkowe. Musi zostać użyta ta sama numeracja węzłów, jak w przypadku analizy wyboczeniowej, ponieważ na modelu ma zostać wykonany pewien zabieg. Otóż, do nowo tworzonej analizy typu np. Static General dodane zostaną wyniki analizy wyboczeniowej. Stanie się tak poprzez zastosowanie komendy *IMPERFECTION, która pozwoli zaburzyć idealną geometrię pręta przemieszczeniami węzłów obliczonymi w analizie buckle. Odbędzie się to poprzez dodanie obliczonych przemieszczeń do położeń węzłów konstrukcji nie zaburzonej. Wyniki symulacji ściskania siłą osiową 10 kN takiego „zaburzonego” pręta przedstawione są na rysunku 6a. Dla porównania na rysunku 6b pokazano wyniki symulacji tego samego pręta, bez zastosowania komendy *IMPERFECTION. W przypadku gdy geometria pręta nie została zaburzona mamy do czynienia z czystym ściskaniem. Brak jest strzałki ugięcia, jedyne przemieszczenia w kierunku X to małe deformacje pręta na skutek spęczenia materiału, w wyniku zmniejszenia jego długości. Wyniki analizy postbuckling wyraźnie pokazują wystąpienie pewnej niewielkiej krzywizny pręta na skutek działania siły ściskającej (skala rysunku została zdeformowana aby mocniej uwidocznić łuk).
Należy podkreślić, że przyłożona siła nie przekroczyła wartości krytycznej. Ugięcie pręta jest na tyle małe, że nie powoduje nagłej utraty stateczności. Aby nastąpiło dalsze przemieszczenie pręta siła musi wzrosnąć. Co się stanie jeżeli przyłożona zostanie siła ściskająca o wartości przekraczającej siłę krytyczną? Wykres na rysunku 7 przedstawia zależność siła – przemieszczenie pionowe punktu przyłożenia siły. Wyniki uzyskano dla analizy typu Static, General. Uzyskanie większych przemieszczeń w trakcie tej analizy nie było możliwe ponieważ została osiągnięta wartość siły krytycznej. Z wykresu można odczytać, że sztywność układu obciążonego siłą zbliżoną do wartości krytycznej dąży do zera (prawa część krzywej jest pozioma). Stanowi to problem dla klasycznego solwera w analizie statycznej, ponieważ nawet niewielki przyrost siły będzie generował nieskończenie wielki przyrost przemieszczenia. Dzieje się tak, gdyż – w bardzo dużym uproszczeniu – MES szuka rozwiązania równania F = K⋅u gdzie F to siły, u przemieszczenia, a K macierz sztywności układu. Jeżeli zadane są siły, wtedy aby wyznaczyć przemieszczenia należy podzielić siłę przez sztywność. Jeżeli sztywność dąży do zera (co widać na rysunku 7), wtedy przemieszczenia dążą do nieskończoności.
Jednym ze sposobów radzenia sobie z tego rodzaju problemem jest zastosowanie innego rodzaju wymuszenia w analizie. Zamiast przykładać siłę skupioną można wymusić przemieszczenie pionowe. Wtedy niewiadome będą po lewej stronie równania i zbieżność będzie możliwa do osiągnięcia. Metoda ta jest skuteczna jedynie wtedy, kiedy znamy kierunek i sposób przemieszczania się punktu, którego przemieszczenie wymuszamy. W przypadku omawianego pręta nie stanowi to większego problemu. Trudność sprawi bardziej skomplikowana konstrukcja, której zachowanie się nie jest tak oczywiste.
Innym, bardziej eleganckim, sposobem jest zastosowanie analizy typu Static, Riks. Pozwala ona na ‘przejście’ przez punkt bifurkacji i symulację zachowania konstrukcji, po utracie stateczności. Metoda ta znajduje punkt równowagi na końcu każdego kroku. Umożliwia ona nie tylko zwiększenie (jak w klasycznej metodzie iteracyjnej), ale również zmniejszenie wartości siły tak, aby spełnić warunek równowagi statycznej. Tak więc niewiadomą jest tutaj nie tylko przemieszczenie, ale również w pewnym sensie siła. Stosując tę metodę możliwe jest uzyskanie książkowego wręcz wykresu siła-przemieszczenie. Takiego, jaki można spotkać w każdym podręczniku omawiającym zagadnienie wyboczenia. Wykres taki dla omawianego pręta przedstawiony jest na rysunku 8. Widać na nim wyraźnie miejsce, w którym następuje nagła utrata stateczności – prawie zerowy przyrost siły generuje stosunkowo duże przemieszczenia pionowe punktu przyłożenia siły. Następujący potem odcinek, w którym coraz mniejsza siła wywołuje dalszą deformację, byłby niemożliwy do uzyskania z wykorzystaniem metody Newtona-Rapsona, stosowanej w klasycznej analizie (zakładając oczywiście, że stosowane jest wymuszenie siłą, a nie przemieszczeniem).
Opisywany sposób ma jednak pewną wadę. Wyniki są zależne od pewnej wielkości zwanej Arc Length. Charakteryzuje ona rozmiar kroku obliczeń. W przypadku gdy krok ten będzie zbyt duży metoda nie będzie się zbiegać lub da nieprawdziwe rezultaty – może ‘przeskoczyć’ punkt bifurkacji w ogóle go nie zauważając. W przypadku małego kroku czas obliczeń jest długi. Możliwe jest jednak łączenie w jednej analizie kilku metod. W pierwszej części symulacji zastosować więc można klasyczną metodę i obciążyć pręt siłą dużą, lecz mniejszą niż wartość krytyczna, aby następnie w dalszej części obliczeń zmienić metodę na Riks i z dużą dokładnością przeanalizować przejście konstrukcji przez punkt bifurkacji.
A skoro już o wadach mowa – sama analiza wyboczenia konstrukcji oraz następująca po niej analiza postbuckling jest zależna od wielu czynników. Ważny jest sposób zamocowania konstrukcji, który ma wpływ na postaci wyboczenia. Uważny czytelnik zauważył, że analizowany pręt ma odebrane obroty wzdłuż własnej osi (u6=0). Stało się tak ponieważ podczas analizy pojawiały się odkształcenia będące ewidentnie wynikiem ruchu ciała sztywnego – obrotu wokół osi Z. Sposób importu odkształconej postaci pręta do analizy postbuckling również nie jest oczywisty. Składnia komendy *IMPERFECTION wymaga aby podać procentowy wpływ każdej z postaci wyboczenia na zaburzenie geometrii konstrukcji. Nie ma jednak reguły na to, jakie wartości należy przyjąć. Wszystko pozostaje w gestii doświadczenia i wyczucia inżyniera. Należy zachować szczególną ostrożność przy stosowaniu metody Riks w połączeniu z elasto-plastycznym modelem materiału. W takim przypadku przyrost odkształceń plastycznych może być niezgodny z rzeczywistością. Metoda Riks uniemożliwia zdefiniowanie amplitud przyrostu sił lub przemieszczenia. Siły powinny być zadane bezpośrednio na konstrukcję. Obciążanie konstrukcji w sposób pośredni (za pomocą np. kontaktu z innym ciałem) jest niewskazane.
Generalnie rzecz ujmując analizy wyboczenia oraz stateczności konstrukcji wciąż są przedmiotem wielu bardzo interesujących prac naukowych (z rozprawami doktorskimi włącznie) z różnych dziedzin, nie zawsze związanych w sposób bezpośredni z mechaniką.
Antoni Skrobol
artykuł pochodzi z wydania 4 (43) 2011
